每個人都知道，圓週率 π=3.14159...
不過這個數字似乎太嚴肅了，並不好玩。
介紹一個更有趣的數字---1.618，又稱黃金比例φ（唸fai），是大般人較陌生的數目字。
前年看「達文西密碼」這本書時，對於裡面第一道謎題寫到的「宇宙間最美麗的數字1.618」以及費波納奇數列很有興趣。
裡面提到，黃金比例源於斐波納契數列，而這個比例在大自然裡無所不在，例如每個蜂窩中雌蜂數除以雄蜂數目之比例、鸚鵡螺的每個螺旋之比、向日葵小花的螺旋排列間每圈直徑之比例、昆蟲身體的分節比例...都有這個神聖比例和費波納奇數列的存在。
甚至，連人的身體裡都含著這個神奇比例...如身高除以肚臍高、肩長除以手肘長、臀高除以膝蓋高...都是這個相同的比例。
再來，連一些古建築如希臘帕特農神廟、古埃及金字塔裡都有這個比例的運用；甚至連米開朗基羅、達文西的等藝術家的作品都有神聖比例的應用；
還有還有音樂神童莫札特的奏鳴曲、貝多芬的第五號交響曲...都有利用到黃金比例的和諧之美。
只能說一句，螺絲，這簡直太神奇了。
後來在書局裡又找到一本書「黃金比例」來延伸閱讀，進一步了解，其實打從西元前三百年歐幾里德因為幾何學的研究而定義出這個比例後，黃金比例早已一直被無數的數學家、生物學家、天文學家、音樂、物理、藝術、建築、心理學等等領域專家追逐探究，在不同學門間引起過無數的討論與驚奇，激起的研究熱潮超過任何數字。
這個屬於無理數的比例數值之所以引起如此高度的研究興趣，除了因為它本身在數學領域早已引起驚奇連連的巧合發現之外(例如它自己加1會等於自己的平方；自己減1則會等於倒數值，它一長串的小數點後面的數字都沒改變喔....等等)，而且由這比例衍生出來的黃金矩形、五角星形還可以在幾何學上作出很精采的延伸變化和螺旋線外，更在於從週遭環境裡，人們常常會在不經意的地方巧遇它的出現，而且是以美麗的圖形比例出現，不管是花花草草的植物界、動物界、或是宇宙星體現象，很多都跟黃金比例1.618以及和它也有相關聯的費波納奇數列有關。
也因著這般驚奇的發現，15世紀便有人將此特殊比例值稱為「神的比例」，因為這比例所代表的神奇和和諧之美，就這麼獨一，彷彿是上帝神耀的展現。
有意思的是，在神的比例這部分，剛好看到了維特魯威人圖的說明，之前一直不曉得為什麼此圖要畫一個外圓和內方？
原來早在西元前1世紀的古羅馬建築師維特魯威便曾寫著：當人張開雙手雙腳時，以人的中心點肚臍眼當圓心劃出圓時，圓周剛好會碰到手和腳(即表示肚臍到手指的距離與到腳指的距離相等,perfect）；當手平伸像十字架時，雙手指距離剛好等於身高，故可以此劃成一正方形表示(完美的正方形啊，perfect)。文藝復興時期的達文西便根據這觀念畫出這張有名的人體比例圖，除了表達完美的人體比例只能是造物主巧妙安排的比例外，圓形表陰性，十字方形表陽性，此圖便是在陰陽調和的和諧下構成完美。
厲害。
所謂費波納奇數列(Fibonacci sequence)則是指1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144....
為比薩的費波納奇研究兔子生產問題時所發現的數列。(此費波納奇也是將阿拉伯數字1234...帶進義大利然後改變羅馬數字(如Ⅱ,Ⅵ,Ⅸ)的運算規則的人。)
而這個數列的規則是，末項是前兩項之和，所以第三項是前一二項之和，第四項便是第三項加第二項，第五項則是第四加第三項，依此類推，綿延不絶下去。
然後，神奇的事發生了，這數列也發生很多數學上的計算巧合，例如將此數列的兩兩項次相加減乘除平方開根號亂亂玩，就會有很神奇的結果出現；還有驚奇的是，將相鄰的兩項相除（後項除以前項），商數會越來越趨近1.618這個神聖比例φ。
是的，就是這個比例和這個數列，居然在大自然裡可以發現很多相關的神奇，例如，植物的葉序生長。
一般枝幹上的葉子生長，爲了得到最佳的陽光照耀、呼吸空間以及雨露均沾，一片片葉子的生長會沿著莖幹而成螺旋移動，分別以二分之一轉、三分之一轉、五分之二轉、八分之三轉等比例生長（意即順著螺旋生長的第一片葉子起算，轉了三圈的範圍裡共長出八片葉子，因此稱每片葉子便是八分之三轉），不同植物有不同比例，但都是循著費波納奇數列的數字，達文西發現了，天文學家克卜勒也發現了；而且這些分布的角度，在測量計算上也和黃金比例有關，在視覺感官也似乎多了一絲和諧的味道。
除此之外，鳳梨外皮的六角形鱗片、雛菊的花瓣數、玫瑰花瓣的分布位置、向日葵的小花排列方式和數目，也都遵循著費波納奇數列和黃金比例的安排。
但，真的是這樣嗎?
上個月我拍了幾張向日葵照片後，從中突然發現了一點驚喜，在上面這張照片裡，可以明顯地看到向日葵小花的排列形狀真的呈螺旋紋，有順時針和逆時針兩種螺旋，想起了「黃金比例」書中所寫，於是我也睜大眼睛努力算了算，嘿嘿，從逆時針方向（綠線）數來，共34排小花，從順時針方向(紅線)數來，共有55排，34/55真的符合書中所述，遵循著費波納奇數列。我想，這也因為小花們以此螺旋形方式排列，可以讓每朵小花曬到最多太陽、沾到最多雨露、並擺放上最多小花數量吧（即留下最多的種子），這樣可以更有效益地共享空間，並且不會讓上下左右小花處在同一軸線上而彼此擋到，或許這便是能減少無謂的能量消耗，而達到最高生產力的方式，而這種方式就在藏在費波納奇數列和黃金比例裡。
而由此衍生的螺旋線也是一奇，鸚鵡螺的螺旋外殼可以一直延伸但形狀不變，這種自我相似性具有一種美感，這樣的螺旋也存在大自然裡，從向日葵、海螺、漩渦、颱風，甚至是螺旋星系都有這樣的形體，很巧。
甚至連游隼這種速度很快的猛禽，都以這種螺旋形的飛行方式來精準捕獵，可以達到最佳視角和節省飛行能量，很神奇。
而近代亦有人將黃金比例用於發展地磚形狀與排列的發展；研究碎形理論和晶體結構；研究股票市場的波動行為等，真是嘆為觀止。
費波納奇數列和黃金比例開啟了如此多的數學研究風潮，但是也引來相當多的穿鑿附會，依照「黃金比例」書中作者的細心研究（任職哈伯太空望遠鏡科學研究所），除了大自然界真有這麼多黃金比例的驚奇之外，一般所說的人為藝術層面所包含的黃金比例的例子大半是無確切根據的，包括達文西密碼書上寫的古建築、古典音樂、繪畫雕刻等，其實大都是沒有明確證據能證明有運用到黃金比例的。
換句話說，我覺得這人為藝術作品雖然讓人覺得舒服、美妙、和諧，但這應該是各作者們的美學素養所展現的藝術成就，非得和黃金比例有相關吧。
從這本書裡也發覺，原來古代歐洲是將音樂和天文、物理學都擺在數學這一門學科裡邊的，甚至很多藝術家也會研究數學，因為數學的本質可以幫助人們去理解很多的不解。而在自然界裡理解到的，原來有這麼多的驚奇巧合，難怪作者想問，上帝是一個數學家嗎?
不過就我們所知道的，自然界裡除了隱隱含著甚多的秩序，令人驚嘆之外，自然界裡也還有甚多讓人們不解的謎題與未現的領域，仍令人困惑。
我想起高中時，有一次上課剛好坐在窗邊座位發呆，我看到一排排螞蟻辛勤忙碌著，很守秩序循著一直線前進，我從牠們背後伸出一根手指頭，搓了幾隻螞蟻，擾亂了牠們的隊伍，他們根本措手不及，也渾然未知會有我的手指在背後出現。
同樣地，我們人的背後，有沒有這麼一隻看不見的手，什麼時候操控著什麼事呢?
只能說，人啊，怎能不崇敬呢?崇敬神所布設的巧妙，崇敬我們仍有所不知的無垠世界啊。
延伸閱讀:
The Golden Ratio黃金比例(1.61803..的秘密) /Mario Livio著 /丘宏義譯/ 遠流出版。
達文西密碼 /丹布朗著/ 尤傳莉譯/ 時報出版
不過這個數字似乎太嚴肅了，並不好玩。
介紹一個更有趣的數字---1.618，又稱黃金比例φ（唸fai），是大般人較陌生的數目字。
前年看「達文西密碼」這本書時，對於裡面第一道謎題寫到的「宇宙間最美麗的數字1.618」以及費波納奇數列很有興趣。
裡面提到，黃金比例源於斐波納契數列，而這個比例在大自然裡無所不在，例如每個蜂窩中雌蜂數除以雄蜂數目之比例、鸚鵡螺的每個螺旋之比、向日葵小花的螺旋排列間每圈直徑之比例、昆蟲身體的分節比例...都有這個神聖比例和費波納奇數列的存在。
甚至，連人的身體裡都含著這個神奇比例...如身高除以肚臍高、肩長除以手肘長、臀高除以膝蓋高...都是這個相同的比例。
再來，連一些古建築如希臘帕特農神廟、古埃及金字塔裡都有這個比例的運用；甚至連米開朗基羅、達文西的等藝術家的作品都有神聖比例的應用；
還有還有音樂神童莫札特的奏鳴曲、貝多芬的第五號交響曲...都有利用到黃金比例的和諧之美。
只能說一句，螺絲，這簡直太神奇了。
後來在書局裡又找到一本書「黃金比例」來延伸閱讀，進一步了解，其實打從西元前三百年歐幾里德因為幾何學的研究而定義出這個比例後，黃金比例早已一直被無數的數學家、生物學家、天文學家、音樂、物理、藝術、建築、心理學等等領域專家追逐探究，在不同學門間引起過無數的討論與驚奇，激起的研究熱潮超過任何數字。
這個屬於無理數的比例數值之所以引起如此高度的研究興趣，除了因為它本身在數學領域早已引起驚奇連連的巧合發現之外(例如它自己加1會等於自己的平方；自己減1則會等於倒數值，它一長串的小數點後面的數字都沒改變喔....等等)，而且由這比例衍生出來的黃金矩形、五角星形還可以在幾何學上作出很精采的延伸變化和螺旋線外，更在於從週遭環境裡，人們常常會在不經意的地方巧遇它的出現，而且是以美麗的圖形比例出現，不管是花花草草的植物界、動物界、或是宇宙星體現象，很多都跟黃金比例1.618以及和它也有相關聯的費波納奇數列有關。
也因著這般驚奇的發現，15世紀便有人將此特殊比例值稱為「神的比例」，因為這比例所代表的神奇和和諧之美，就這麼獨一，彷彿是上帝神耀的展現。
有意思的是，在神的比例這部分，剛好看到了維特魯威人圖的說明，之前一直不曉得為什麼此圖要畫一個外圓和內方？
原來早在西元前1世紀的古羅馬建築師維特魯威便曾寫著：當人張開雙手雙腳時，以人的中心點肚臍眼當圓心劃出圓時，圓周剛好會碰到手和腳(即表示肚臍到手指的距離與到腳指的距離相等,perfect）；當手平伸像十字架時，雙手指距離剛好等於身高，故可以此劃成一正方形表示(完美的正方形啊，perfect)。文藝復興時期的達文西便根據這觀念畫出這張有名的人體比例圖，除了表達完美的人體比例只能是造物主巧妙安排的比例外，圓形表陰性，十字方形表陽性，此圖便是在陰陽調和的和諧下構成完美。
厲害。
所謂費波納奇數列(Fibonacci sequence)則是指1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144....
為比薩的費波納奇研究兔子生產問題時所發現的數列。(此費波納奇也是將阿拉伯數字1234...帶進義大利然後改變羅馬數字(如Ⅱ,Ⅵ,Ⅸ)的運算規則的人。)
而這個數列的規則是，末項是前兩項之和，所以第三項是前一二項之和，第四項便是第三項加第二項，第五項則是第四加第三項，依此類推，綿延不絶下去。
然後，神奇的事發生了，這數列也發生很多數學上的計算巧合，例如將此數列的兩兩項次相加減乘除平方開根號亂亂玩，就會有很神奇的結果出現；還有驚奇的是，將相鄰的兩項相除（後項除以前項），商數會越來越趨近1.618這個神聖比例φ。
是的，就是這個比例和這個數列，居然在大自然裡可以發現很多相關的神奇，例如，植物的葉序生長。
一般枝幹上的葉子生長，爲了得到最佳的陽光照耀、呼吸空間以及雨露均沾，一片片葉子的生長會沿著莖幹而成螺旋移動，分別以二分之一轉、三分之一轉、五分之二轉、八分之三轉等比例生長（意即順著螺旋生長的第一片葉子起算，轉了三圈的範圍裡共長出八片葉子，因此稱每片葉子便是八分之三轉），不同植物有不同比例，但都是循著費波納奇數列的數字，達文西發現了，天文學家克卜勒也發現了；而且這些分布的角度，在測量計算上也和黃金比例有關，在視覺感官也似乎多了一絲和諧的味道。
除此之外，鳳梨外皮的六角形鱗片、雛菊的花瓣數、玫瑰花瓣的分布位置、向日葵的小花排列方式和數目，也都遵循著費波納奇數列和黃金比例的安排。
但，真的是這樣嗎?
上個月我拍了幾張向日葵照片後，從中突然發現了一點驚喜，在上面這張照片裡，可以明顯地看到向日葵小花的排列形狀真的呈螺旋紋，有順時針和逆時針兩種螺旋，想起了「黃金比例」書中所寫，於是我也睜大眼睛努力算了算，嘿嘿，從逆時針方向（綠線）數來，共34排小花，從順時針方向(紅線)數來，共有55排，34/55真的符合書中所述，遵循著費波納奇數列。我想，這也因為小花們以此螺旋形方式排列，可以讓每朵小花曬到最多太陽、沾到最多雨露、並擺放上最多小花數量吧（即留下最多的種子），這樣可以更有效益地共享空間，並且不會讓上下左右小花處在同一軸線上而彼此擋到，或許這便是能減少無謂的能量消耗，而達到最高生產力的方式，而這種方式就在藏在費波納奇數列和黃金比例裡。
而由此衍生的螺旋線也是一奇，鸚鵡螺的螺旋外殼可以一直延伸但形狀不變，這種自我相似性具有一種美感，這樣的螺旋也存在大自然裡，從向日葵、海螺、漩渦、颱風，甚至是螺旋星系都有這樣的形體，很巧。
甚至連游隼這種速度很快的猛禽，都以這種螺旋形的飛行方式來精準捕獵，可以達到最佳視角和節省飛行能量，很神奇。
而近代亦有人將黃金比例用於發展地磚形狀與排列的發展；研究碎形理論和晶體結構；研究股票市場的波動行為等，真是嘆為觀止。
費波納奇數列和黃金比例開啟了如此多的數學研究風潮，但是也引來相當多的穿鑿附會，依照「黃金比例」書中作者的細心研究（任職哈伯太空望遠鏡科學研究所），除了大自然界真有這麼多黃金比例的驚奇之外，一般所說的人為藝術層面所包含的黃金比例的例子大半是無確切根據的，包括達文西密碼書上寫的古建築、古典音樂、繪畫雕刻等，其實大都是沒有明確證據能證明有運用到黃金比例的。
換句話說，我覺得這人為藝術作品雖然讓人覺得舒服、美妙、和諧，但這應該是各作者們的美學素養所展現的藝術成就，非得和黃金比例有相關吧。
從這本書裡也發覺，原來古代歐洲是將音樂和天文、物理學都擺在數學這一門學科裡邊的，甚至很多藝術家也會研究數學，因為數學的本質可以幫助人們去理解很多的不解。而在自然界裡理解到的，原來有這麼多的驚奇巧合，難怪作者想問，上帝是一個數學家嗎?
不過就我們所知道的，自然界裡除了隱隱含著甚多的秩序，令人驚嘆之外，自然界裡也還有甚多讓人們不解的謎題與未現的領域，仍令人困惑。
我想起高中時，有一次上課剛好坐在窗邊座位發呆，我看到一排排螞蟻辛勤忙碌著，很守秩序循著一直線前進，我從牠們背後伸出一根手指頭，搓了幾隻螞蟻，擾亂了牠們的隊伍，他們根本措手不及，也渾然未知會有我的手指在背後出現。
同樣地，我們人的背後，有沒有這麼一隻看不見的手，什麼時候操控著什麼事呢?
只能說，人啊，怎能不崇敬呢?崇敬神所布設的巧妙，崇敬我們仍有所不知的無垠世界啊。
延伸閱讀:
The Golden Ratio黃金比例(1.61803..的秘密) /Mario Livio著 /丘宏義譯/ 遠流出版。
達文西密碼 /丹布朗著/ 尤傳莉譯/ 時報出版
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